UNIVERSIDAD DE CARABOBO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESTUDIOS BÁSICOS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

 

CONTENIDO PROGRAMÁTICO DE LA ASIGNATURA FUNCIONES VECTORIALES (MA3B05)

 

TEMA 1: LÍMITES Y CONTINUIDAD

1.1. Rn como conjunto, Rn como espacio vectorial, Rn como espacio euclídeo, Rn como espacio métrico.

1.2. Esfera abierta en Rn, Punto interior, exterior, frontera, de acumulación, aislado. Conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto. Interior, frontera, derivado y clausura de un conjunto.

1.3.Función real de varias variables reales. Función vectorial. Componentes de una función vectorial. Dominio, espacio de valores, rango de una función vectorial. Gráfica de una función vectorial. Conjunto de nivel de una función real de varias variables reales. Representación geométrica de una función f:R2®R.

1.4. Definición de límite de una función vectorial: en términos de esferas abiertas, en términos de distancias. Unicidad del límite. Calculo de límites de una función real de varias variables reales: limite a lo largo de una curva, límites iterados. Demostración de la existencia del límite a través de la definición. Límite de una función vectorial a partir de los límites de sus funciones componentes.

1.5. Definición de Continuidad de una función vectorial. Discontinuidad de una función vectorial: tipos. Extensión contínua.  Continuidad de una función vectorial a partir de la continuidad de sus funciones componentes. Transformación lineal. Continuidad de una transformación lineal.

TEMA 2: EL DIFERENCIAL

2.1. Derivada  Parcial: definición, significado geométrico e intrínseco. Función derivada parcial. Propiedades de las derivadas parciales. Matriz Jacobiana.

2.2. Derivadas parciales de orden superior. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas. Transformación afín.

2.3. Diferenciablidad de una función: caso f:R®R (recta tangente a una curva) , caso f:R2®R (plano tangente a una superficie), , caso F:Rn®Rm (transformación afín aproximante). Matriz jacobiana y matriz del diferencial. Diferenciabilidad y continuidad. Propiedades de las funciones diferenciables. Continuidad de las derivadas parciales de primer orden y diferenciabilidad de una función. Funciones de clase C1.

TEMA 3: DERIVADA DIRECCIONAL Y EL GRADIENTE

3.1. Derivada  Direccional: definición, significado geométrico e intrínseco. Derivada direccional y funciones diferenciables.

3.2. El vector gradiente. Derivada direccional y el vector gradiente. Valor máximo y mínimo de la derivada direccional en un punto. Conjunto de nivel de una función real de varias variables reales y el vector gradiente. . Curva en el plano definida en forma implícita. Recta tangente a una curva de la forma f(x,y) = c. Superficie en el espacio definida en forma implícita. Plano tangente a una superficie de la forma g(x,y,z) = c.

TEMA 4: FUNCIÓN COMPUESTA, FUNCIÓN INVERSA Y FUNCIÓN IMPLÍCITA

4.1. Composición de funciones. Diferencial de la función compuesta (regla de la cadena) : diversos casos. Teorema de la función compuesta.

4.2. Inversa de una función. Inversa local. Diferencial de la función inversa . Teorema de la función inversa.

4.3. Función implícita definida por un sistema de ecuaciones: Caso f(x,y) = 0, caso general. Diferencial de la función implícita: diversos casos. Teorema de la función implícita. Curva en el espacio definida en forma implícita Recta tangente a una curva en el espacio de la forma

TEMA 5: VALORES EXTREMOS

5.1. Forma cuadrática. Matriz asociada a una forma cuadrática. Forma cuadrática definida, semidefinida y no definida. Diagonalización de una forma cuadrática.

5.2. Matriz Hessiana. Desarrollo de Taylor de segundo orden de una función real de varias variables reales.

5.3. Extremos de una función real de varias variables reales: extremos relativos y absolutos. Puntos críticos. Análisis de extremos usando la Matriz Hessiana. Caso de una función real de dos variables.

5.4. Extremos Condicionados: sustitución directa, parametrización. Teorema de Lagrange.Extremos en un conjunto compacto.

TEMA 6: INTEGRALES MÚLTIPLES

6.1. Integral iterada en un  rectángulo de R2. Integral iterada en una  región general de R2. Definición de Integral doble como límite de sumas. Significado geométrico. Teorema de Fubini. Propiedades de la integral doble. Integral triple y múltiple.

6.2. Aplicaciones de las integrales dobles y triples: Área de una región plana, volumen de una región en el espacio. Masa de regiones planas y regiones del espacio, momentos estáticos, centro de gravedad, momentos de inercia.

6.3. Teorema del cambio de variables en integrales dobles. Cambio de variables a coordenadas polares. Teorema del cambio de variables en integrales triples. Cambio de variables a coordenadas cilíndricas y esféricas.

TEMA 7: INTEGRALES DE LÍNEA E INTEGRALES DE SUPERFICIE.

7.1. Curva en Rn definida en forma paramétrica. Curva suave y parcialmente suave. Curva cerrada. Representación geométrica de curvas en R2 y en R3 definidas en forma paramétrica. Vector tangente. Recta tangente a una curva definida en forma paramétrica. Longitud de arco. Integral respecto a la longitud de arco. Aplicaciones: Masa de un alambre , centro de gravedad. Área de una cerca de altura variable.

7.2. Campo vectorial en Rn. Integral de línea de un campo vectorial. Propiedades. Significado físico. Campo vectorial gradiente. Integral de línea de un campo vectorial gradiente. Curva en Rn orientada. Teorema de Green.

7.3. Superficie en R3 definida en forma paramétrica. Superficie suave y parcialmente suave. Supeficie cerrada. Representación geométrica de superficies en R3 definidas en forma paramétrica. Vector normal a una superficie en R3 definida en forma paramétrica. Plano tangente a una superficie en R3 definida en forma paramétrica. Área de superficie. Integral respecto al diferencial de área de superficie. Aplicaciones.

7.4. Integral de superficie de un campo vectorial en R3. Propiedades.Significado físico.

7.5. Superficie en R3 orientada. Rotacional de un campo vectorial. Significado físico. Teorema del rotacional Stokes. Divergencia de un campo vectorial. Significado físico.Teorema de la divergencia de Gauss.

 

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

·         Apostol, Tom (1967) .Calculus (volumen 2), 2° ed. Editorial Reverté,

·         Da Silva, José (1981).Cálculo de Funciones Vectoriales I. Universidad de Carabobo, Facultad de Ingeniería.

·         Da Silva, José (1985).Cálculo de Funciones Vectoriales II. Universidad de Carabobo, Facultad de Ingeniería.

·         Marsden, J. y Tromba, A. (1996).Cálculo Vectorial, 4° ed. Prentice Hall.

·         Pita, C. (1991). Cálculo Vectorial. Prentice Hall.